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文章目录
  1. 原神官方抽卡一般规则
    1. 角色池规则
    2. 武器池规则
  2. 抽出一个五星角色期望需要多少抽?
  3. 抽出一个五星武器期望需要多少抽?
  4. 抽出一个满命五星角色期望需要出多少次金?
  5. 抽出目标满精武器期望需要出多少次金?
  6. 抽出满精武器满命角色期望需要花费多少钱?
  7. 总结

【数学】原神抽卡概率期望分析

原神官方抽卡一般规则

角色池规则

  • 角色池为单 UP 池。
  • 五星角色祈愿的基础概率为 0.600%, 综合概率(含保底) 为 1.600%, 最多 90 次祈愿内必定能通过保底获取五星角色。
  • 当祈愿获取到五星角色时,有 50.000% 的概率为本期该池的 UP 角色。(即存在歪了的可能性)。
  • 如果本次祈愿获取的五星角色非本期该池的 UP 角色,下次祈愿获取的五星角色必定为本期五星 UP 角色。(不可能连续两次歪)。

武器池规则

  • 武器池为双 UP 池。
  • 五星武器祈愿的基础概率为 0.7000%,综合概率(含保底)为 1.850%,最多 80 次 祈愿必定能通过保底获取五星武器。
  • 当祈愿获取到五星武器时,有 75.000% 的概率为本期五星 UP 武器中两个中的一个。如果本次祈愿获取的五星武器非本期五星 UP 武器时,下次祈愿获取的五星武器必定为本期五星 UP 武器。在未通过命定值达到满值获取定轨武器的情况下,当祈愿获取到五星 UP 物体时,每把本期五星 UP 武器的获取概率均等。

抽出一个五星角色期望需要多少抽?

根据官方抽卡规则,抽卡可以认为是重复独立的伯努利实验,角色池的综合出金率为 P = 1.600%。
即抽出五星角色的抽卡次数 X 服从几何分布。即:
P(X=n)=P(1P)n1

根据几何分布的期望公式,

E=1P=62.5

即期望平均需要抽 62.5 抽可出一个五星角色。

抽出一个五星武器期望需要多少抽?

同理,因为武器池的综合出金率为 P = 1.85%, 因此,

E=1P54

即期望平均需要抽约 54 抽可出一个五星武器。

抽出一个满命五星角色期望需要出多少次金?

假设氪佬抽出满命后就停止抽卡,则氪佬需要将 UP 角色抽出 7 次,假设抽卡分布如下:

() 中 () 中 () 中 () 中 () 中 () 中 () 中

其中,“中”代表抽中 UP 角色,“()”代表可能出现歪的位置,共计 7 个。如果歪了 n 次(必有n7),则共有 Cn7 种情况,每一种情况出现的概率为:

0.5n1n0.57n0.57

其中,第一个 0.5n 指歪了 n 次,1n 指歪了之后下一次 100% 出 UP 角色,0.57n指有 7-n 次在没歪的情况下出 UP 角色,因此抽满命过程中歪 n 次出现的概率为:

P(X=n)=Cn70.57

最后得到抽出满命的平均期望出金次数 E 为:

E=7n=1(7+n)Cn70.57=10.5

即期望平均需要出 10.5 次金才可以将一个 UP 角色抽满命。

抽出目标满精武器期望需要出多少次金?

不歪的情况下出目标武器的概率为 P=755037.5

歪一次的概率为 P1P62.5

因为存在定轨机制,还要考虑连续歪两次的概率为:

PPP39.0625

同样假设氪佬抽满精武器后就停止抽卡,假设抽卡分布情况如下:

() 中 () 中 () 中 () 中 () 中

其中“中”表示抽出目标武器,“()“的位置可能是“单歪”、“双歪”或者空(相当于不歪)。

再假设抽卡过程中单歪次数为 m,双歪次数为 n(必有mn5),则可能的情况有 Cm+n5Cnm+n种。

Cm+n5 指从 5 个“()“位置选择 mn 个放置单歪和双歪,Cnmn 指歪的位置确定后再放置单歪和双歪。

则每种情况出现的概率为:

PmPn1nP5n

其中,Pm 指出现 m 次单歪的概率,Pn 指出现 n 次双歪的概率,1n 指双歪后 100 出目标武器,P5n 指有 5n 次直接出目标武器)。

因此,抽满精的过程中单歪 m 次,双歪 n 次的概率为:

P(X=m,X=n)=Cm+n5Cnm+nPmPn1nP5n

其中,mn 需要满足约束 mn5mn0,因此可以得到抽卡次数的期望为:

E=m+n5m,n0(5+m+2n)Cm+n5Cnm+nPmPn1nP5n

mn5mn0 的约束下, (mn)一共有 35 种组合,穷举所有组合并代入上式可以得到:

E10.07812510

即武器池期望大约是需要出 10 次金才可以将目标武器抽满精。

抽出满精武器满命角色期望需要花费多少钱?

综上分析,抽出满命满精角色的平均抽卡次数为:

EEEE=1201.011201

一单 648 rmb 平均能抽 52 次,因此一个满命角色满精武器需要花费:

648120152=1496615000rmb

总结

  • 期望平均需要抽 62.5 抽可出一个五星角色。
  • 期望平均需要抽 54 抽可出一个五星武器。
  • 期望平均需要出 10.5 次金才可以将一个 UP 角色抽满命。
  • 期望平均需要出 10 次金才可以将目标武器抽满精。
  • 抽出满精武器满命角色期望需要花费 15000 rmb。
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