原神官方抽卡一般规则

角色池规则

角色池为单 UP 池。
五星角色祈愿的基础概率为 $0.600$%，综合概率(含保底) 为 $1.600$%，最多 $90$ 次祈愿内必定能通过保底获取五星角色。
当祈愿获取到五星角色时，有 $50.000$% 的概率为本期该池的 UP 角色。(即存在歪了的可能性)。
如果本次祈愿获取的五星角色非本期该池的 UP 角色，下次祈愿获取的五星角色必定为本期五星 UP 角色。(不可能连续两次歪)。

武器池规则

武器池为双 UP 池。
五星武器祈愿的基础概率为 $0.7000$%，综合概率(含保底)为 $1.850$%，最多 $80$ 次祈愿必定能通过保底获取五星武器。
当祈愿获取到五星武器时，有 $75.000$% 的概率为本期五星 UP 武器中两个中的一个。如果本次祈愿获取的五星武器非本期五星 UP 武器时，下次祈愿获取的五星武器必定为本期五星 UP 武器。在未通过命定值达到满值获取定轨武器的情况下，当祈愿获取到五星 UP 物体时，每把本期五星 UP 武器的获取概率均等。

抽出一个五星角色期望需要多少抽？

根据官方抽卡规则，抽卡可以认为是重复独立的伯努利实验，角色池的综合出金率为 $P_{角色}$ = $1.600$%。
即抽出五星角色的抽卡次数 $X_{角色}$ 服从几何分布。即：
$$P(X_{角色}=n)=P_{角色}*(1-P_{角色})^{n-1}$$

根据几何分布的期望公式,

$$E=\frac{1}{P_{角色}}=62.5$$

即期望平均需要抽 $62.5$ 抽可出一个五星角色。

抽出一个五星武器期望需要多少抽？

同理，因为武器池的综合出金率为 $P_{武器}$ = $1.85$%，因此,

$$E=\frac{1}{P_{武器}} \approx 54$$

即期望平均需要抽约 $54$ 抽可出一个五星武器。

抽出一个满命五星角色期望需要出多少次金？

假设氪佬抽出满命后就停止抽卡，则氪佬需要将 UP 角色抽出 $7$ 次，假设抽卡分布如下：

() 中 () 中 () 中 () 中 () 中 () 中 () 中

其中，“中”代表抽中 UP 角色，“()”代表可能出现歪的位置，共计 $7$ 个。如果歪了 $n$ 次（必有$n≤7$），则共有 $C_{7}^{n}$ 种情况，每一种情况出现的概率为：

$${0.5}^{n} * 1^{n}*{0.5}^{7-n}＝{0.5}^{7}$$

其中，第一个 $0.5^n$ 指歪了 $n$ 次，$1^n$ 指歪了之后下一次 $100$％出 UP 角色，$0.5^{7-n}$指有 $7$-$n$ 次在没歪的情况下出 UP 角色，因此抽满命过程中歪 $n$ 次出现的概率为:

$$P(X_{歪}=n)=C_{7}^{n}*{0.5}^{7}$$

最后得到抽出满命的平均期望出金次数 $E_{满命}$ 为:

$$E_{满命}=\sum_{n=1}^{7} (7+n) * C_{7}^{n}*{0.5}^{7}=10.5$$

即期望平均需要出 $10.5$ 次金才可以将一个 UP 角色抽满命。

抽出目标满精武器期望需要出多少次金？

不歪的情况下出目标武器的概率为 $P_{不歪}=75％*50％＝37.5％$

歪一次的概率为 $P_{单歪}＝1-P_{不歪}＝62.5％$。

因为存在定轨机制，还要考虑连续歪两次的概率为：

$P_{双歪}＝P_{单歪}*P_{单歪}＝39.0625％$

同样假设氪佬抽满精武器后就停止抽卡，假设抽卡分布情况如下：

() 中 () 中 () 中 () 中 () 中

其中“中”表示抽出目标武器，“()“的位置可能是“单歪”、“双歪”或者空（相当于不歪）。

再假设抽卡过程中单歪次数为 $m$，双歪次数为 $n$（必有$m＋n≤5$），则可能的情况有 $C_{5}^{m+n} * C_{m+n}^{n}$种。

$C_{5}^{m+n}$ 指从 $5$ 个“()“位置选择 $m＋n$ 个放置单歪和双歪，$C_{m＋n}^{n}$ 指歪的位置确定后再放置单歪和双歪。

则每种情况出现的概率为:

$$P_{单歪}^{m} * P_{双歪}^{n} * {1}^{n} * P_{中}^{5-n}$$

其中，$P_{单歪}^m$ 指出现 $m$ 次单歪的概率，$P_{双歪}^n$ 指出现 $n$ 次双歪的概率，$1^n$ 指双歪后 $100％$ 出目标武器，$P_{中}^{5-n}$ 指有 $5-n$ 次直接出目标武器）。

因此，抽满精的过程中单歪 $m$ 次，双歪 $n$ 次的概率为:

$$P(X_{单歪}=m, X_{双歪}=n)=C_{5}^{m+n} * C_{m+n}^{n} * P_{单歪}^m * P_{双歪}^n * 1^n * P_{中}^{5-n}$$

其中，$m$ 和 $n$ 需要满足约束 $m＋n≤5$ 且 $m，n≥0$，因此可以得到抽卡次数的期望为:

$$E_{满精}=\sum_{m+n≤5且m,n≥0}{}(5+m+2n) * C_{5}^{m+n} * C_{m+n}^{n} * P_{单歪}^m * P_{双歪}^n * 1^n * P_{中}^{5-n}$$

在 $m＋n≤5$ 和 $m，n≥0$ 的约束下, $(m，n)$一共有 $35$ 种组合，穷举所有组合并代入上式可以得到:

$$E_{满精}＝10.078125≈10$$

即武器池期望大约是需要出 $10$ 次金才可以将目标武器抽满精。

抽出满精武器满命角色期望需要花费多少钱？

综上分析，抽出满命满精角色的平均抽卡次数为：

$$E_{满命}＊E_{角色}＋E_{满精}*E_{武器}=1201.01≈1201$$

一单 $648$ rmb 平均能抽 $52$ 次，因此一个满命角色满精武器需要花费:

$$\frac{648*1201}{52}=14966≈15000 rmb$$

总结

期望平均需要抽 $62.5$ 抽可出一个五星角色。
期望平均需要抽 $54$ 抽可出一个五星武器。
期望平均需要出 $10.5$ 次金才可以将一个 UP 角色抽满命。
期望平均需要出 $10$ 次金才可以将目标武器抽满精。
抽出满精武器满命角色期望需要花费 $15000$ rmb。